Bản đồ Mercator là bản đồ thế giới vẽ theo phép chiếu do nhà bản đồ học Gerardus Mercator công bố năm 1569. Nó được thiết kế cho người đi biển: mọi đường đi giữ nguyên một hướng la bàn đều hiện thành đường thẳng, và góc giữa các hướng được giữ đúng ở mọi nơi. Cái giá phải trả là diện tích bị phóng to dần khi đi xa xích đạo, phóng rất mạnh ở vùng gần hai cực.
Vì vậy trên tấm bản đồ treo tường quen thuộc, Greenland trông to ngang châu Phi, trong khi thực tế châu Phi rộng khoảng 30 triệu km² còn Greenland chỉ khoảng 2,2 triệu km², tức châu Phi lớn hơn Greenland khoảng 14 lần. Bản đồ không "vẽ sai" theo nghĩa cẩu thả; nó làm đúng việc nó được tạo ra, chỉ là việc đó không phải so diện tích các nước.
Bài này giải thích vì sao không có tấm bản đồ phẳng nào đúng mọi thứ, Mercator kéo giãn bản đồ theo quy luật nào, vùng nào bị méo nhiều nhất, vì sao bản đồ trên điện thoại vẫn dùng một biến thể của Mercator, và cách tự hiệu chỉnh con mắt khi nhìn bản đồ thế giới.
Không thể trải phẳng quả cầu mà không làm méo
Bề mặt Trái Đất gần như một mặt cầu, hơi dẹt ở hai cực. Muốn vẽ nó lên một tờ giấy phẳng, người làm bản đồ phải dùng một phép chiếu: một quy tắc toán học gán mỗi điểm có kinh độ, vĩ độ trên quả cầu với một điểm trên mặt phẳng. Vấn đề là mặt cầu và mặt phẳng có độ cong khác nhau về bản chất. Năm 1827, nhà toán học Carl Friedrich Gauss chứng minh một định lý mà ông gọi là "định lý tuyệt diệu", từ đó suy ra không thể trải phẳng một mảnh mặt cầu mà vẫn giữ nguyên mọi khoảng cách.
Hệ quả thực tế rất đơn giản: mỗi tấm bản đồ thế giới đều phải hy sinh một thứ. Có phép chiếu giữ đúng góc và hình dạng cục bộ, gọi là đồng góc; có phép chiếu giữ đúng tỉ lệ diện tích, gọi là đồng diện tích; có phép chiếu giữ đúng khoảng cách từ một điểm trung tâm; và có phép chiếu không giữ trọn thứ gì nhưng chia đều sai số cho dễ nhìn. Không phép chiếu nào vừa đồng góc vừa đồng diện tích trên toàn thế giới.
Cách hình dung quen thuộc nhất là thử bóc vỏ một quả cam rồi ép phẳng xuống bàn. Vỏ sẽ rách, chồng lên nhau hoặc phải kéo giãn ở đâu đó. Mercator chọn cách kéo giãn có hệ thống, sao cho người đi biển được lợi nhiều nhất. Hiểu lựa chọn đó là hiểu vì sao Greenland, Canada, Nga hay châu Nam Cực trông lớn khác thường trên tấm bản đồ quen thuộc.
Mercator là ai và tấm bản đồ năm 1569 dùng để làm gì
Gerardus Mercator (1512–1594) sinh ở vùng Flanders, nay thuộc nước Bỉ, là người làm quả địa cầu, dụng cụ đo đạc và bản đồ. Phần lớn sự nghiệp cuối đời ông làm việc ở Duisburg, nay thuộc nước Đức. Năm 1569, ông công bố một bản đồ thế giới khổ lớn ghép từ nhiều tờ, với dòng chú thích bằng tiếng Latinh cho biết bản đồ được hiệu chỉnh để dùng cho việc đi biển.
Bài toán của người đi biển thế kỷ 16 khá cụ thể. Trên tàu có la bàn, nên cách giữ hướng dễ nhất là chọn một góc la bàn rồi đi mãi theo góc đó. Đường đi giữ nguyên góc so với mọi kinh tuyến như vậy gọi là đường tà hành (loxodrome hay rhumb line). Trên quả cầu, đường tà hành là một đường xoắn dần về phía cực. Trên các bản đồ thời ấy, nó lại hiện thành đường cong khó vẽ, khiến việc đặt thước kẻ để tìm hướng đi rất bất tiện.
Ý tưởng của Mercator là làm sao để mọi đường tà hành đều thành đường thẳng. Khi đó, thuyền trưởng chỉ cần nối điểm đi với điểm đến bằng một đường thẳng, đo góc của đường đó với kinh tuyến, rồi giữ đúng góc ấy trên la bàn. Mercator dựng lưới bản đồ chủ yếu bằng phương pháp hình học. Cơ sở toán học đầy đủ và các bảng tính khoảng cách giữa các vĩ tuyến được nhà toán học người Anh Edward Wright công bố năm 1599, giúp người khác vẽ lại lưới Mercator một cách chính xác.
Cơ chế kéo giãn: hệ số phóng tăng nhanh theo vĩ độ
Trên quả cầu, các kinh tuyến chụm lại ở hai cực: một độ kinh ở xích đạo dài khoảng 111 km, ở vĩ độ 60 chỉ còn khoảng một nửa, và bằng không ở cực. Mercator lại vẽ mọi kinh tuyến thành những đường thẳng đứng song song, cách đều nhau. Như vậy, càng lên cao, chiều ngang bị kéo giãn càng mạnh để bù cho việc kinh tuyến không chụm lại.
Để giữ đúng góc, bản đồ phải kéo giãn theo chiều dọc đúng bằng mức đã kéo theo chiều ngang. Hệ số phóng ở mỗi vĩ độ bằng 1 chia cho côsin của vĩ độ đó. Ở vĩ độ 30, hệ số khoảng 1,15; ở vĩ độ 45 khoảng 1,41; ở vĩ độ 60 bằng đúng 2; ở vĩ độ 70 gần 3; ở vĩ độ 80 gần 6. Vì diện tích bị kéo theo cả hai chiều, mức phóng diện tích bằng bình phương hệ số này: gấp 4 lần ở vĩ độ 60, khoảng 8,5 lần ở vĩ độ 70, hơn 30 lần ở vĩ độ 80.
Ở chính hai cực, côsin bằng không nên hệ số phóng là vô hạn. Đó là lý do bản đồ Mercator không bao giờ vẽ được điểm cực, và các phiên bản thường cắt ở khoảng vĩ độ 80 đến 85. Dải đất châu Nam Cực ở mép dưới các bản đồ này trông như một lục địa trắng dài vô tận, trong khi thực tế đó là một khối tròn tương đối gọn quanh cực Nam.
Điều quan trọng là hình dạng cục bộ vẫn đúng: một hồ nhỏ ở Canada vẫn đúng hình, một vịnh nhỏ ở Na Uy vẫn đúng góc. Cái sai chỉ lộ ra khi so kích thước giữa hai vùng ở hai vĩ độ rất khác nhau, như Greenland gần cực Bắc với châu Phi vắt qua xích đạo.
So kích thước trên bản đồ và kích thước thật: vài cặp hay gây nhầm
Các con số diện tích dưới đây làm tròn, dùng để so tương đối; mỗi nguồn có thể lệch đôi chút tuỳ cách tính đảo và mặt nước.
| Cặp so sánh | Trên bản đồ Mercator trông như | Diện tích thật (làm tròn) |
|---|---|---|
| Greenland – châu Phi | Gần ngang nhau | Greenland khoảng 2,2 triệu km²; châu Phi khoảng 30 triệu km², lớn hơn khoảng 14 lần |
| Nga – châu Phi | Nga trông lớn hơn | Nga khoảng 17 triệu km², nhỏ hơn châu Phi gần một nửa |
| Alaska – Brazil | Gần ngang nhau | Alaska khoảng 1,7 triệu km²; Brazil khoảng 8,5 triệu km², lớn hơn khoảng 5 lần |
| Na Uy đất liền – Việt Nam | Na Uy trông lớn hơn vài lần | Hai nước gần bằng nhau, mỗi nước khoảng 320–330 nghìn km² |
| Châu Nam Cực | Một dải trắng dài suốt mép dưới | Khoảng 14 triệu km², nhỏ hơn châu Á và châu Phi nhiều |
Ví dụ Na Uy và Việt Nam đáng nhớ với người Việt: hai nước rộng xấp xỉ nhau, nhưng Na Uy nằm quanh vĩ độ 58 đến 71 độ bắc nên bị phóng diện tích gấp nhiều lần, còn Việt Nam nằm trong khoảng 8 đến 23 độ bắc nên gần như giữ nguyên kích thước. Nhìn bản đồ treo tường, nhiều người tưởng Na Uy rộng hơn Việt Nam rất nhiều.
Một quy tắc nhẩm nhanh: vùng nằm trong khoảng 20 độ quanh xích đạo hầu như không bị phóng; vùng ở vĩ độ 50–60 bị phóng diện tích khoảng 2,5 đến 4 lần; vùng trên 70 độ bị phóng gấp nhiều lần, nên mọi so sánh với vùng nhiệt đới đều sai lệch nặng.
Đường thẳng trên bản đồ không phải đường ngắn nhất
Nhiều người nghĩ đường thẳng trên bản đồ Mercator là đường đi ngắn nhất. Thực tế không phải vậy. Đường ngắn nhất giữa hai điểm trên quả cầu là một cung của đường tròn lớn, tức đường tròn có tâm trùng tâm Trái Đất. Xích đạo và các kinh tuyến là những đường tròn lớn; còn các vĩ tuyến khác thì không.
Trên bản đồ Mercator, đường tròn lớn nối hai điểm ở xa nhau thường hiện thành một đường cong võng về phía cực. Đó là lý do đường bay từ Đông Á sang Bắc Mỹ trên màn hình máy bay trông như vòng lên gần Alaska: máy bay không đi đường vòng, mà bản đồ phẳng làm đường ngắn nhất trông cong. Ở chiều ngược lại, đường tà hành thẳng trên Mercator thực ra dài hơn đường tròn lớn, nhất là trên những hải trình dài ở vĩ độ cao.
Người đi biển xưa xử lý chuyện này bằng cách kết hợp hai loại bản đồ. Họ dùng một phép chiếu khác, gọi là phép chiếu tâm (gnomonic), trên đó mọi đường tròn lớn đều là đường thẳng, để vạch tuyến ngắn nhất. Sau đó họ chia tuyến này thành nhiều chặng ngắn và chuyển sang bản đồ Mercator, mỗi chặng là một đường tà hành với một góc la bàn cố định. Cách làm này cho đường đi gần ngắn nhất mà vẫn dễ lái tàu.
Vì sao bản đồ trên điện thoại vẫn dùng Mercator
Nghe những sai lệch trên, có người hỏi sao không bỏ hẳn Mercator. Câu trả lời nằm ở tính đồng góc. Khi bạn phóng to tới một ngã tư, bạn cần các con đường giao nhau đúng góc, các toà nhà đúng hình, hướng bắc luôn ở phía trên. Mercator giữ được tất cả những điều đó ở mọi mức thu phóng, và lưới vuông của nó chia rất gọn thành các ô ảnh vuông để tải dần.
Phần lớn bản đồ trực tuyến vì vậy dùng một biến thể gọi là Web Mercator, coi Trái Đất như hình cầu hoàn hảo để tính nhanh hơn. Ở mức phố phường, sai lệch diện tích giữa hai đầu một thành phố nhỏ không đáng kể. Vấn đề chỉ xuất hiện khi người dùng thu nhỏ ra toàn thế giới và đem kích thước các nước ra so. Một số dịch vụ bản đồ đã chuyển sang hiển thị dạng quả cầu khi thu nhỏ hết cỡ, chính để tránh hiểu nhầm đó.
Ngoài bản đồ đường phố, các biến thể của Mercator vẫn dùng rộng rãi trong hải đồ và trong hệ toạ độ bản đồ địa hình. Hệ lưới UTM mà nhiều nước dùng cho bản đồ địa hình là Mercator ngang: hình trụ được xoay để tiếp xúc dọc một kinh tuyến, chia Trái Đất thành 60 múi hẹp, mỗi múi rộng 6 độ kinh, nên sai số trong từng múi rất nhỏ. Hệ VN-2000 của Việt Nam cũng xây dựng trên lưới chiếu Mercator ngang.
Mercator có "sai" không? Ba cách nhìn cần phân biệt
Về toán học, Mercator không sai. Nó là lời giải đúng cho một bài toán cụ thể: giữ đúng góc và làm thẳng đường tà hành. Mọi phép chiếu khác cũng méo ở đâu đó, chỉ khác chỗ méo.
Về cách dùng, Mercator thường bị dùng sai chỗ. Lỗi xảy ra khi tấm bản đồ đi biển được treo trong lớp học như bản đồ "chuẩn" của thế giới, rồi người xem dùng nó để so kích thước các châu lục. Đây là lý do nhiều tổ chức bản đồ và nhà xuất bản sách giáo khoa chọn phép chiếu khác cho bản đồ thế giới tổng quát.
Về ấn tượng thị giác, Mercator để lại dấu vết lâu dài. Nhiều thế hệ học sinh lớn lên với hình ảnh châu Âu, Bắc Mỹ rộng lớn và vùng nhiệt đới nhỏ bé. Cuộc tranh luận những năm 1970–1980 quanh phép chiếu Gall–Peters xuất phát từ chính cảm giác này. Bài về các phép chiếu bản đồ thế giới trên trang bàn kỹ hơn.
Cách dùng tỉnh táo. Dùng Mercator khi cần hướng đi, hình dạng cục bộ, bản đồ đường phố. Dùng phép chiếu đồng diện tích khi cần so sánh diện tích, mật độ, tỉ lệ đất rừng giữa các vùng. Dùng quả địa cầu khi muốn có hình dung đúng nhất về mọi thứ cùng lúc.
Tự hiệu chỉnh mắt khi nhìn bản đồ thế giới
Vài thói quen nhỏ giúp bạn đọc bản đồ Mercator mà không bị đánh lừa:
- Nhìn lưới kinh tuyến – vĩ tuyến trước: nếu các vĩ tuyến cách nhau rộng dần về phía cực và kinh tuyến song song, đó là Mercator hoặc họ hàng của nó.
- Chỉ so kích thước giữa các vùng ở cùng vĩ độ, ví dụ Việt Nam với Philippines, Pháp với Ukraine; tránh so vùng gần cực với vùng nhiệt đới.
- Khi cần so hai vùng ở vĩ độ khác nhau, tra diện tích bằng số, hoặc dùng các công cụ trực tuyến cho phép kéo hình một nước tới vĩ độ khác để thấy nó co giãn.
- Xem lại trên quả địa cầu hoặc bản đồ đồng diện tích; châu Phi sẽ hiện đúng tầm vóc của một châu lục lớn thứ hai thế giới.
- Với đường bay, đường biển dài, nhớ rằng đường cong trên bản đồ phẳng thường mới là đường ngắn.
Áp dụng mấy bước này, bạn vẫn dùng được mọi bản đồ quen thuộc mà không mang theo những hình dung lệch về kích thước các châu lục.
Câu hỏi thường gặp
Vì sao sách giáo khoa vẫn in bản đồ Mercator?
Nhiều sách đã chuyển sang các phép chiếu dung hoà như Robinson hay Winkel Tripel cho bản đồ thế giới tổng quát. Mercator vẫn xuất hiện ở các trang về hàng hải, múi giờ hoặc vì quen tay. Khi gặp, bạn có thể nhận ra qua lưới vĩ tuyến giãn dần về phía cực.
Greenland thật ra rộng bằng nước nào?
Greenland rộng khoảng 2,2 triệu km², xấp xỉ diện tích Algeria hoặc Cộng hoà Dân chủ Congo, gấp khoảng sáu lần Việt Nam. Đó là hòn đảo lớn nhất thế giới nếu không tính Australia, nhưng vẫn nhỏ hơn châu Phi khoảng 14 lần.
Mercator có phóng to Việt Nam không?
Rất ít. Việt Nam nằm trong khoảng vĩ độ 8 đến 23 độ bắc, hệ số phóng chiều dài chỉ từ khoảng 1,01 đến 1,09. Vì vậy hình Việt Nam trên bản đồ Mercator gần đúng kích thước tương đối, chỉ các nước ở vĩ độ cao mới trông to bất thường khi đặt cạnh.
Web Mercator khác Mercator gốc ở điểm nào?
Web Mercator dùng công thức Mercator nhưng coi Trái Đất là hình cầu hoàn hảo, trong khi toạ độ đầu vào lại tính trên mô hình hơi dẹt. Cách này đơn giản hoá tính toán cho bản đồ trực tuyến, đổi lại không còn đồng góc tuyệt đối, sai lệch nhỏ đủ để không ảnh hưởng việc xem đường phố.
Có phải Mercator cố tình vẽ châu Âu to ra?
Không có bằng chứng cho thấy Mercator chọn phép chiếu vì muốn phóng to châu Âu. Mục đích ông ghi rõ là phục vụ hàng hải. Việc châu Âu, Bắc Mỹ trông lớn là hệ quả toán học của vị trí ở vĩ độ cao, và mọi vùng vĩ độ cao ở Nam bán cầu cũng bị phóng như vậy.
Làm sao biết một bản đồ dùng phép chiếu nào?
Bản đồ in cẩn thận thường ghi tên phép chiếu ở góc, gần thước tỉ lệ. Nếu không ghi, hãy nhìn hình dạng lưới: kinh tuyến thẳng song song và vĩ tuyến giãn dần là Mercator; kinh tuyến cong dần ra hai bên, mép bản đồ bo tròn thường là các phép chiếu dung hoà.
