Vào thế kỷ 3 trước Công nguyên, Eratosthenes ước tính chu vi Trái Đất bằng cách so bóng nắng giữa trưa ở hai thành phố Syene và Alexandria của Ai Cập. Vào ngày hạ chí, mặt trời chiếu gần như thẳng đứng ở Syene, trong khi ở Alexandria phía bắc, bóng cây gậy cắm thẳng lệch một góc khoảng 1/50 vòng tròn, tức khoảng 7,2 độ. Ông lập luận rằng khoảng cách giữa hai thành phố cũng bằng 1/50 chu vi Trái Đất, rồi nhân khoảng cách đó lên 50 lần.
Với khoảng cách ước tính 5.000 stadia, ông thu được khoảng 250.000 stadia. Vì không biết chắc một stadion ông dùng dài bao nhiêu mét, kết quả quy đổi nằm đâu đó trong khoảng 39.000 đến 46.000 km, so với khoảng 40.000 km trên thực tế. Dù sai số thật lớn hay nhỏ, phương pháp của ông là một trong những ví dụ đẹp nhất về việc dùng hình học và quan sát đơn giản để đo cả hành tinh.
Bài này dựng lại phép đo từng bước, chỉ ra những giả định ngầm, giải thích vì sao độ chính xác còn tranh cãi, kể tiếp câu chuyện đo Trái Đất về sau, và hướng dẫn cách làm lại thí nghiệm giữa hai trường học ở Việt Nam.
Trước Eratosthenes: người Hy Lạp đã biết Trái Đất tròn
Một hiểu lầm phổ biến là phải đến thời các chuyến hải hành lớn, con người mới biết Trái Đất tròn. Thực tế, giới học giả Hy Lạp đã chấp nhận Trái Đất hình cầu từ khoảng thế kỷ 5–4 trước Công nguyên. Aristotle, ở thế kỷ 4 trước Công nguyên, tổng hợp các lý lẽ quan sát được và vẫn còn thuyết phục đến ngày nay.
Lý lẽ thứ nhất: khi nguyệt thực xảy ra, bóng Trái Đất in lên Mặt Trăng luôn có mép cong, dù nguyệt thực xảy ra lúc Mặt Trăng mọc, lúc nửa đêm hay lúc gần lặn. Chỉ một vật hình cầu mới luôn đổ bóng tròn theo mọi hướng. Lý lẽ thứ hai: đi về phía nam, người ta thấy những ngôi sao mới nhô lên ở chân trời phía nam, còn một số sao phương bắc khuất dần. Nếu mặt đất phẳng, bầu trời sẽ phải giống nhau ở mọi nơi.
Người đi biển còn có quan sát quen thuộc: con tàu đi xa khuất phần thân trước rồi mới khuất cột buồm. Như vậy, đến thời Eratosthenes, câu hỏi đã không còn là Trái Đất có tròn không, mà là quả cầu ấy lớn bao nhiêu. Trả lời câu hỏi đó cần một phép đo, và một người có đủ dữ liệu trong tay.
Eratosthenes là ai
Eratosthenes sinh khoảng năm 276 trước Công nguyên ở Cyrene, một thành Hy Lạp trên bờ biển nay thuộc Libya, và mất khoảng năm 194 trước Công nguyên. Ông được mời về Alexandria và giữ chức quản thủ thư viện lớn của thành phố, nơi tập trung một khối tư liệu đồ sộ của thế giới Hy Lạp thời đó. Vị trí này giúp ông tiếp cận báo cáo của người đi đường, bản ghi đo đạc và các công trình thiên văn.
Ông là người đa tài: làm toán, thiên văn, địa lý, văn học, âm nhạc. Học sinh học toán ngày nay còn biết tên ông qua "sàng Eratosthenes", một cách lọc ra các số nguyên tố. Trong địa lý, ông được ghi nhận là người dùng từ geographia, gốc của chữ geography, và là người vẽ bản đồ thế giới có các đường song song, vuông góc làm khung toạ độ.
Một chi tiết ít được nhắc: công trình gốc mô tả phép đo chu vi Trái Đất của Eratosthenes không còn. Câu chuyện chúng ta biết chủ yếu được thuật lại bởi Cleomedes, một tác giả sống sau ông nhiều thế kỷ, cùng vài nguồn khác. Vì vậy, các con số chi tiết, nhất là độ dài một stadion, vẫn là đề tài tranh luận của giới sử học khoa học.
Dựng lại phép đo từng bước
Theo bản thuật lại phổ biến, lập luận của Eratosthenes gồm năm bước:
- Quan sát ở Syene (nay là Aswan): vào trưa ngày hạ chí, mặt trời gần như ở đỉnh đầu, ánh nắng rọi xuống đáy giếng sâu và vật dựng đứng gần như không có bóng.
- Đo ở Alexandria, nằm gần như thẳng phía bắc Syene: cùng thời điểm, một vật dựng đứng vẫn đổ bóng. Góc giữa tia nắng và phương thẳng đứng khoảng 1/50 của một vòng tròn, tức khoảng 7,2 độ.
- Giả định tia nắng song song: vì Mặt Trời ở rất xa, tia nắng chiếu tới Syene và Alexandria coi như song song với nhau.
- Áp dụng hình học: với tia nắng song song, góc lệch ở Alexandria bằng góc ở tâm Trái Đất giữa hai bán kính đi qua hai thành phố (hai góc so le trong). Vậy cung Syene – Alexandria bằng 1/50 chu vi.
- Nhân khoảng cách: khoảng cách hai thành phố được ước tính khoảng 5.000 stadia; nhân 50 được 250.000 stadia. Một số nguồn ghi ông điều chỉnh thành 252.000 stadia, có thể để chia tròn cho 60 phần.
Vẻ đẹp của phép đo nằm ở chỗ nó chỉ cần một cây gậy, một ngày đặc biệt, một khoảng cách đã biết và một định lý hình học học sinh lớp 7 đã học. Không cần đi vòng quanh Trái Đất, không cần dụng cụ phức tạp, chỉ cần đặt đúng câu hỏi và tin vào lập luận.
Kết quả đúng đến mức nào: các giả định và thực tế
Độ chính xác của Eratosthenes phụ thuộc vào vài giả định, mỗi giả định chỉ đúng gần đúng. Bảng dưới tóm tắt.
| Giả định | Thực tế | Ảnh hưởng tới kết quả |
|---|---|---|
| Syene nằm đúng chí tuyến Bắc | Syene nằm gần chí tuyến, không trùng hẳn | Góc đo lệch nhẹ |
| Alexandria nằm thẳng phía bắc Syene | Lệch khoảng ba độ kinh | Khoảng cách theo kinh tuyến khác khoảng cách đi đường |
| Khoảng cách 5.000 stadia | Là con số tròn, có thể từ đo đạc hoặc ước lượng lộ trình | Sai số khó xác định |
| Tia nắng song song | Gần như hoàn toàn đúng | Ảnh hưởng không đáng kể |
| Trái Đất là hình cầu | Hơi dẹt ở hai cực | Ảnh hưởng nhỏ so với các sai số khác |
Phần gây tranh cãi nhất là độ dài một stadion. Thời cổ có nhiều loại stadion khác nhau, với độ dài thường được ước tính trong khoảng 157 đến 185 m. Nếu là 157 m, kết quả khoảng 39.000–39.600 km, rất sát; nếu là 185 m, kết quả khoảng 46.000 km, sai khoảng 15%. Chu vi thật của Trái Đất khoảng 40.075 km theo xích đạo và khoảng 40.008 km khi đi qua hai cực.
Dù chọn cách quy đổi nào, sai số vẫn chỉ trong khoảng vài phần trăm đến khoảng 15%. Với một phép đo thực hiện cách đây hơn hai nghìn năm bằng bóng nắng, đó là kết quả rất đáng nể, và quan trọng hơn, phương pháp hoàn toàn đúng về nguyên lý.
Sau Eratosthenes: con số nhỏ hơn và chuyến đi của Columbus
Không phải ai sau Eratosthenes cũng giữ con số của ông. Khoảng thế kỷ 1 trước Công nguyên, Posidonius đưa ra một cách đo khác dựa trên độ cao của sao Canopus ở hai nơi, và theo một số nguồn thuật lại, có một ước tính nhỏ hơn nhiều, khoảng 180.000 stadia. Ptolemy dùng con số nhỏ hơn này trong bộ Địa lý, và vì bộ Địa lý trở thành chuẩn mực trong nhiều thế kỷ, Trái Đất trong hình dung của nhiều nhà bản đồ châu Âu nhỏ hơn thực tế khá nhiều.
Con số nhỏ ấy, cộng với việc kéo dài khối Á – Âu về phía đông, có hệ quả lịch sử thật. Cuối thế kỷ 15, Christopher Columbus tin rằng đi về phía tây từ châu Âu sẽ tới châu Á sau một quãng biển không quá xa. Các học giả phản đối ông không phải vì nghĩ Trái Đất phẳng, mà vì họ cho rằng ông tính Trái Đất quá nhỏ, và về điểm đó họ đúng. Columbus không chết đói giữa biển chỉ vì có hai châu lục mà ông không biết nằm chắn giữa đường.
Hiểu lầm "người châu Âu thời Columbus tin Trái Đất phẳng" phổ biến chủ yếu từ thế kỷ 19, một phần qua cuốn tiểu sử Columbus được Washington Irving viết năm 1828 với nhiều chi tiết thêm thắt. Các nhà sử học khoa học đã chỉ ra từ lâu rằng giới học thức trung đại châu Âu nhìn chung chấp nhận Trái Đất hình cầu.
Đo Trái Đất về sau: từ Baghdad tới định nghĩa mét
Đầu thế kỷ 9, dưới thời khalip al-Ma'mun ở Baghdad, các nhóm học giả được ghi nhận đã đo độ dài một độ kinh tuyến trên vùng đồng bằng bằng phẳng, dùng quan sát sao và đo khoảng cách trên mặt đất. Phương pháp này chính xác hơn vì đo trực tiếp một cung ngắn rồi suy ra cả vòng. Các phép đo cung kinh tuyến tương tự được làm đi làm lại ở nhiều nơi trong những thế kỷ sau, ngày càng tinh vi nhờ phép đo tam giác.
Thế kỷ 18, câu hỏi chuyển sang hình dạng: Trái Đất dẹt ở cực như Newton dự đoán, hay dài ra ở cực như một số phép đo ở Pháp gợi ý? Viện Hàn lâm Khoa học Pháp gửi hai đoàn đo đạc, một lên Lapland gần vòng cực Bắc, một sang vùng xích đạo ở Nam Mỹ, trong thập niên 1730. Kết quả so sánh độ dài một độ kinh tuyến ở hai nơi xác nhận Trái Đất dẹt ở hai cực.
Cuối thế kỷ 18, nước Pháp định nghĩa mét bằng một phần mười triệu khoảng cách từ xích đạo tới cực Bắc dọc theo kinh tuyến. Đó là lý do chu vi Trái Đất qua hai cực rơi vào khoảng 40.000 km, một con số tròn đến lạ: không phải ngẫu nhiên, mà vì đơn vị mét được chọn từ chính Trái Đất. Ngày nay, hình dạng Trái Đất được đo đến từng centimet bằng vệ tinh, nhưng câu hỏi Eratosthenes đặt ra vẫn là nền móng của ngành trắc địa.
Làm lại phép đo ở Việt Nam: một hoạt động cho lớp học
Việt Nam có một lợi thế hiếm có cho thí nghiệm này: Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh nằm gần như trên cùng một kinh tuyến, quanh 106 độ đông, và cách nhau khoảng 10 độ vĩ. Hai lớp học ở hai thành phố có thể cùng làm một ngày, rồi gửi kết quả cho nhau. Thời điểm thuận tiện nhất là quanh ngày xuân phân hoặc thu phân, khi mặt trời giữa trưa nằm trên xích đạo và góc lệch của tia nắng so với phương thẳng đứng gần bằng chính vĩ độ nơi đo.
Ví dụ giả định: lớp ở Hà Nội đo được góc khoảng 21 độ, lớp ở Thành phố Hồ Chí Minh đo được khoảng 10,8 độ, chênh khoảng 10,2 độ. Khoảng cách theo phương bắc – nam giữa hai nơi khoảng 1.130 km. Chu vi ước tính bằng 1.130 × 360 / 10,2, xấp xỉ 39.900 km. Cách đo góc: cắm một que thẳng đứng dài 1 m trên mặt phẳng nằm ngang, đo chiều dài bóng lúc trưa thật, rồi lấy arctang của tỉ số bóng trên que.
Vài lưu ý để kết quả tốt: "trưa thật" là lúc bóng ngắn nhất trong ngày, thường không trùng 12 giờ đồng hồ, nên hãy đo nhiều lần quanh trưa và lấy bóng ngắn nhất; dùng dây dọi để chắc que thẳng đứng; mặt đất phải phẳng. Nếu hai lớp không cùng kinh độ, cần quy khoảng cách về hiệu vĩ độ. Cái học sinh mang về không chỉ là một con số, mà là cảm giác tự tay đo được cả hành tinh bằng một que gỗ.
Câu hỏi thường gặp
Eratosthenes có thật sự dùng một cái giếng ở Syene không?
Chi tiết cái giếng xuất hiện trong các bản thuật lại và được kể rất nhiều, nhưng vì công trình gốc đã mất, không thể chắc ông quan sát trực tiếp hay dựa vào hiểu biết phổ biến thời đó rằng ở Syene, ngày hạ chí vật dựng đứng không có bóng giữa trưa.
Làm sao Eratosthenes biết khoảng cách 5.000 stadia?
Nguồn gốc con số không rõ. Có giả thuyết cho rằng nó đến từ những người đo bước chân chuyên nghiệp, có giả thuyết khác cho rằng đó là ước lượng từ thời gian đi của các đoàn lữ hành. Việc con số tròn trịa cho thấy nó có thể đã được làm tròn.
Chu vi Trái Đất chính xác là bao nhiêu?
Theo mô hình Trái Đất dùng phổ biến hiện nay, chu vi qua xích đạo khoảng 40.075 km, chu vi qua hai cực khoảng 40.008 km. Chênh lệch khoảng 67 km là do Trái Đất hơi dẹt ở hai cực vì tự quay quanh trục.
Eratosthenes có đo được khoảng cách tới Mặt Trời không?
Một số nguồn cổ cho rằng ông cũng ước tính khoảng cách tới Mặt Trời và Mặt Trăng, nhưng các con số được truyền lại không chắc chắn và khó diễn giải. Thành tựu được công nhận rộng rãi nhất của ông vẫn là phép đo chu vi Trái Đất.
Vì sao lại chọn ngày hạ chí?
Vào ngày hạ chí, Mặt Trời giữa trưa nằm thẳng đỉnh đầu ở chí tuyến Bắc. Syene nằm gần chí tuyến nên bóng gần như biến mất, cho một mốc góc bằng không rất dễ nhận ra. Khi đó chỉ cần đo một góc ở Alexandria thay vì hai.
Học sinh làm lại thí nghiệm có cần hai thành phố cách xa không?
Càng xa theo phương bắc – nam thì góc chênh càng lớn và sai số đo tương đối càng nhỏ. Hai điểm cách nhau vài trăm km vẫn làm được, nhưng sai số đo góc vài phần mười độ sẽ làm kết quả lệch nhiều. Hà Nội và Thành phố Hồ Chí Minh là cặp rất thuận lợi.
